𝒕-balansırlar ve 𝒕-balans sayıları

Abstract

Bu tezde 𝑡 ≥ 1 tam sayısı için balans sayılarının genelleştirilmişi olan 𝑡-balans sayıları ele alınmış ve 𝑡-balans sayılarının, 𝑡-balansırların ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimleri, balans ve Lucas-balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Birinci bölümde Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, balans, kobalans ve genelleştirilmiş balans sayıları hakkında genel bir bilgi verilmiştir. İkinci bölümde materyal ve yöntem belirtilmiştir. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmı olup bu bölümde, 𝑡 ≥ 1 tam sayısı için 𝑡-balans sayıları ele alınmıştır. 𝑡-balans, 𝑡-balansır ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimlerinin belirlenebilmesi için ilk olarak 2𝑥􀬶 − 𝑦􀬶 = 2𝑡􀬶 + 4𝑡 + 1 Pell denkleminin tüm pozitif (𝑥􀯡, 𝑦􀯡 ) tam sayı çözümleri kümesi belirlenmiş ve bu küme yardımıyla 𝑡-balans, 𝑡-balansır ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimleri, balans ve Lucas-balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Tüm bu işlemler 𝑡 ≥ 2 tam sayısı için 2𝑡􀬶 + 4𝑡 + 1 in tam kare olup olmamasına göre iki durumda ele alınmıştır. Dördüncü bölümde ise sonuç verilmiştir.

In this thesis, the general terms of 𝑡-balancing numbers, 𝑡-balancers and Lucas 𝑡-balancing numbers for an integer 𝑡 ≥ 1 are determined in terms of balancing and Lucas-balancing numbers. In the first section, some notations and definitions on Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, balancing, cobalancing and generalized balancing numbers are given. In the second section, the material and method are given. In the third section, which is the original part of the thesis, the general terms of 𝑡-balancing numbers, 𝑡-balancers and Lucas 𝑡-balancing numbers are given. For this reason, first the set of all positive integer solutions (𝑥􀯡, 𝑦􀯡 ) of the Pell equation 2𝑥􀬶 − 𝑦􀬶 = 2𝑡􀬶 + 4𝑡 + 1 is determined by using its set of representatives. Later the general terms of 𝑡- balancing numbers, 𝑡-balancers and Lucas 𝑡-balancing numbers are determined in terms of balancing and Lucas-balancing numbers by using the set of integer solutions. Here the problem is considered in two cases: 2𝑡􀬶 + 4𝑡 + 1 is a perfect square or not for an integer 𝑡 ≥ 2. In the last section, result is given.