Düzenli figürler

Abstract

Bu tezde, düzgün figürler ele alınmış ve cinsi küçük olan yüzeyler üzerinde sınıflandırılmaları verilmiştir. Küre üzerindeki düzgün figürlerin neler olduğu ortaçağda Kepler zamanından beri bilinmekteydi. Tor yüzeyi üzerindeki düzgün figürlerin neler olabileceği de Coxeter ve Moser tarafından ortaya konulmuştur. Yönlendirilebilir yüzeyler üzerinde düzgün figür kavramı ilk olarak 1978 yılında tanımlanmış ve tüm özellikleri elde edilmiştir. Yönlendirilemez yüzeyler üzerindeki düzgün figürler ise son yıllarda ele alınmaya başlamıştır. Biz burada cinsi 7'ye kadar olan yüzeyler üzerindeki düzgün figürlerin sınıflandırmasını elde ettik. Birinci bölümde tezde kullanılan bazı temel kavramlar gerektiği oranda hatırlatılmıştır. İkinci bölümde düzgün figür ve bununla ilgili kavramlar tanımlanmış, temel sonuçlar verilmiştir. Ayrıca cinsi 7'ye kadar olan yüzeyler üzerindeki düzgün figürlerin sınıflandırmasını da bu bölümde verdik. Üçüncü bölümde ise konuyla yakından alakalı olan Hecke gruplarının düzgün figürlerle olan ilişkisini ortaya koyduk. Basitçe söylemek gerekirse, düzgün figürlerin bilinmesi, Hecke gruplarının normal altgruplarının bilinmesi problemine denktir.

In this thesis, regular maps are considered and their classification on some surfaces of small genus is given. The regular maps on the sphere have been known since Kepler. Coxeter and Moser gave the classification of the regular maps on torus. Regular maps on orientable surfaces have, first, been defined in 1978 and all their properties are obtained. Regular maps on non-orientable surfaces are considered in recent years. Here we obtained the classification of all regular maps on surfaces up to genus 7. In the first chapter, some preliminaries necessary for the following chapters are recalled. In the second chapter, regular maps and the related notions are defined and some fundamental results are obtained. Further, the classification of all regular maps on surfaces up to genus 7 is given here. In the third chapter, the relation of regular maps with Hecke groups is given. Simply, knowing regular maps is equal to knowing normal subgroups of Hecke groups.