Noktasal 1-tipinde kanonik vektör alanına sahip yüzeyler

Abstract

Bir 𝑀⊂ ℝ𝑛+𝑑 altmanifoldunun 𝐺 Gauss dönüşümü 𝑀 üzerinde sıfırdan farklı türevlenebilir bir 𝑓 fonksiyonu ve sabit bir 𝐶 vektörü için Δ𝐺=𝑓(𝐺+𝐶) eşitliğini sağlıyorsa 𝑀 altmanifoldu noktasal 1-tipine Gauss dönüşümüne sahip olduğu söylenir. Eğer 𝑓 fonksiyonu sabit değilse, 1-tipindeki Gauss dönüşümü has olarak adlandırılır. Noktasal 1-tipinde Gauss dönüşümüne sahip olan bir 𝑀 altmanifoldu için 𝐶 sıfır vektörü ise, birinci türden olduğu söylenir. Aksi takdirde, noktasal 1-tipinde Gauss dönüşümümün ikinci türden olduğu söylenir. Son zamanlarda noktasal 1-tipinde Gauss dönüşüme sahip olan ℝ4 deki rotasyonel yüzeyler birçok araştırmacı tarafından çalışılmıştır. 𝑀⊂ ℝ𝑛+𝑑 altmannifoldunun 𝑥 konum vektörü alanı 𝑥=𝑥𝑇+𝑥𝑁 ayrışımına sahiptir. Burada 𝑥𝑇 ve 𝑥𝑁, sırasıyla 𝑥 in teğetsel ve normal bileşenlerini olup 𝑥𝑇 kanonik vektör alanı olarak adlandırılır. Bir Riemann manifoldu üzerindeki bir vektör alanı, bu manifold üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun gradyantı olarak ifade edilebilirse bu vektör alanına konservatif denir. Bu fonksiyon, skaler potansiyel olarak bilinir. Enerjinin korunduğu fiziksel sistemlerin kuvvetleri konservatif vektör alanlarıdır. Sonuçta, 𝜌=12〈𝑥,𝑥〉 için 𝑓 nin gradienti ∇𝜌=𝑥𝑇 dir. Bu çalışmada, 𝑀⊂ ℝ𝑛+𝑑 altmanifoldunun kanonik vektör alanı 𝑥𝑇 nin Δ𝑥𝑇=𝜑(𝑥𝑇+𝐶) şartını sağladığı durumlar incelenmiştir. Bu eşitlik 𝑀 üzerinde sıfırdan farklı türevlenebilir bir fonksiyon 𝜑 ve sabit bir 𝐶 vektörü için geçerlidir. Bu eşitlikte 𝐶 vektörü sıfıra eşit ise 𝑥𝑇 kanonik vektör alanına noktasal 1-tipindedir denir. Bu çalışmada sırasıyla ℝ4 deki rotasyonel hiperyüzeyler ve rotasyonel yüzeylerin kanonik vektör alanı 𝑥𝑇 nin noktasal 1-tipindedir olması ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçları destekleyici örnekler verilmiştir.

A submanifold 𝑀 of a Euclidean space ℝ𝑛+𝑑 is said to have pointwise 1-type Gauss map if its Gauss map 𝐺 satisfies Δ𝐺=𝑓(𝐺+𝐶) for some non-zero smooth function 𝑓 on 𝑀 and a constant vector 𝐶. A pointwise 1-type Gauss map is called proper if the function 𝑓 is non-constant. A submanifold with pointwise 1-type Gauss map is said to be of the first kind if the vector 𝐶 is zero vector. Otherwise, the pointwise 1-type Gauss map is said to be of the second kind. Rotational surfaces in ℝ4 with pointwise 1-type Gauss map have been studied by many researchers. For the Euclidean submanifold 𝑀⊂ℝ𝑛+𝑑, the position vector field x can be decomposed as follows: 𝑥=𝑥𝑇+𝑥𝑁, where 𝑥𝑇 and 𝑥𝑁 denote the tangential and the normal components of x, respectively. The tangent component 𝑥𝑇 known as canonical vector field. If a vector field of a Riemannian manifold is the gradient of a function defined on this manifold, this vector field is called conservative. This function, known as a scalar potential. Conservative vector fields representing forces of physical systems in which energy is conserved. Consequently, for 𝜌=12〈𝑥,𝑥〉 the gradient ∇𝜌=𝑥𝑇 holds. In the present study, we considered immersed submanifold 𝑀⊂ℝ𝑛+𝑑 which has pointwise 1-type canonical vector field 𝑥𝑇, i.e. Δ𝑥𝑇=𝜑(𝑥𝑇+𝐶) holds for some non-zero smooth function 𝜑 on 𝑀 and a constant vector 𝐶. A pointwise 1-type canonical vector field is called proper if the function 𝜑 is non-constant. We obtain some results of rotational surfaces and rotational hypersurfaces in ℝ𝑛+𝑑 whose canonical vector fields 𝑥𝑇 satisfy this condition. We also give some examples which support the obtained results.