Esnek bağlı eklentileri olan plakların titreşimleri

Abstract

Mühendislik sistemlerinde kullanılan makine parçaları ve yapılar ekseriya kiriş, membran veya plak olarak modellenirler. Bu elemanlar sistemde yalın halde muhtelif sınır şartlarıyla yer alabildikleri gibi bazı hallerde başka cisim veya elemanları da taşıyabilirler. Bu ilave cisim veya elemanlar eklenti olarak adlandırılır. Bu tür eklentili elemanlar için bazen kısıtlı sistemler tabiri de kullanılmaktadır. Bununla sistemin sınır şartları haricinde hareketini kısıtlayan unsurların var olduğu ima edilir. Eklentili sistemler içinde çok sık rastlanan bir sınıf eklentili plaklardır. Bunlara örnek olarak taşıt yan ve tavan sacları, gemilerde yan paneller, elektronik kartlar v.b. gösterilebilir. Bu çalışmada sadece eklentili plakların tabii titreşim frekansları ve bunlara ait mod şekillerinin bulunması ile ilgilenilmiştir. Eklentinin yayılı ve konsantre olması halleri incelenmiştir. Yayılı eklentili plaklarla ilgili çalışmalar sınırlı sayıda olsa da literatürde mevcuttur. Bu çalışma söz konusu analizleri yaparken kullandığı metotla öncekilerden farklılık arz etmektedir. Burada kullanılan metot enerji esaslı sonlu fark yaklaşımıdır. Metot esas itibariyle hareketin Lagrange denklemlerinin çıkarılmasına dayanmaktadır. Lagrange denklemine girecek olan enerji entegrallerindeki konuma göre kısmi türevler sonlu fark ifadeleri olarak yazılmaktadır. Keza hareket denklemleri çıkarıldıktan sonra sistemin serbest titreşiminin harmonik hareketler olacağından yola çıkarak adi diferansiyel denklem takımından homojen, lineer cebrik bir denklem takımına geçiş yapılır. Bu metot kullanılarak ilgili denklemler önce çıplak (yalın) plak hali için bilahare eklentili plak için elde edilmiştir. Bulunan özdeğerler ve mod şekilleri literatürde mevcut olanlarla mukayese edilmiş ve mertebe olarak tutarlı değerlerin bulunduğu gözlenmiştir. Metot plak üzerinde oluşturulan bir ızgaranın düğüm noktalarını kullandığından yayılı kütle etkisini oluşturmada ilave işlem gerekmektedir. Buna mukabil ızgara sıklığını arttırarak istenilen sayıda özdeğerin bulunması en azından şeklen mümkündür. Burada her ne kadar sonuçlar aktarılmamışsa da plağın kenarlarına göre eğik konuşlandırılmış yayılı kütlelerin etkisini incelemek de mümkün olmaktadır.

Machine parts and structural elements used in engineering systems are often modelled as beams, membrans, or plates. These elements may be carrying some other bodies or structural elements while they are sometimes barely employed under certain boundary conditions. These additional entitites are called ?attachment?. In the relevant literature, the phrase of ?constrained systems? are also in use for these kind of structures with attachments. With saying this, it is implied that there are some other factors than normal boundary conditions, which constrains the free movements of the main structural element. A class of such constrained systems, which is frequently encountered in the practice is plates with attachments. Ceiling and bottom panels in motor vehicles, side panels in ships, electronic circuit boards etc., can be shown as common examples to plates with attachments. The present work is mainly concerned with the determination of the natural frequencies and the associated mode shapes of plates carrying attachments. Three case studies are carried out: Bare plate, plate with a concentrated mass, plate carrying a distributed mass. There are many papers on this subject, if not many. However, the present work differs from previous work in that a different method is used for free vibration analyses of the system. The method made used here is the energy-based finite difference approach. This method is principally based on the derivation of Lagranges equations of motion. Partial derivatives with respect to spatial coordinates in the energy integrals to be substituted in the Lagranges equations are replaced with their counterparts expressed in terms of finite differences. Also, after the equations of motion are derived, one transitions from the set of ordinary differential equations to a set of linear algebraic equations making use of the fact that free vibrations of the system are of harmonic character. In this way, the equations of motion for both bare and constrained plates. The eigenvalues (natural frequencies) and mode shapes obtained are compared with the existing results in the literature, and observed to be consistent with them. Since the method employs the nodal points of a grid defined on the plate additional effort is necessary to make the effect of a distributed mass while obtaining arbitrary number of frequencies is at least formally possible. This method also enables one to investigate of the effect of a mass attachment oblique placed on the free vibration characteristics of plates