Singüler eğriler ve eliptik bölünebilir diziler

Abstract

Bu çalışmanın amacı “singüler eğriler” ve “eliptik bölünebilir diziler” gibi matematiğin iki önemli kavramını sonlu cisimler üzerinde çalışmak ve bu kavramlar arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktır. Çalışmanın birinci ana kısmında eliptik eğriler teorisi ele alınmış ve teorinin önemli özellikleri verilmiştir. Karakteristiği 2 ve 3 ten farklı olan bir F cismi üzerinde tanımlı E : y 2 = x 3 + Ax + B eşitliğini gerçekleyen sıralı ikililerin kümesi eliptik eğri olarak adlandırılır. Eğer x 3 + Ax + B = 0 kübik denkleminin katlı kökleri bulunması halinde bu noktaların kümesine singüler eğri adı verilir. Çalışmanın amaçlarından birisi de bu tip eğrilerin özelliklerini sonlu cisimler üzerinde ortaya koymaktır. Çalışmanın üçüncü bölümünde, p > 3 bir asal sayı olmak üzere, Fp sonlu cismi üzerinde singüler eğriler ele alınmış bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları, ikinci ve üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla belirlenmiştir. Daha sonra bu eğrilerin üzerindeki (x, y) noktalarının karakterleri, bu noktaların apsis ve ordinatları toplamı ile ilgili sonuçlar verilmiştir. Bu eğriler üzerindeki noktaların grup yapısı ve büküm noktaları belirlendikten sonra bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları ile ilgili işlemler Fp sonlu cisminden Fp n ye genelleştirilmiştir. Çalışmanın ikinci ana kısmında bir eliptik eğrinin bölüm polinomu kavramından ortaya çıkan eliptik bölünebilir diziler ele alınmıştır. Eliptik bölünebilir diziler ilk olarak 1948’de Morgan Ward’ ın “Memoir on elliptic divisibility sequences” adlı makalesinde ele alınmıştır. Çalışmanın beşinci bölümünde, Morgan Ward’ın yapmış olduğu çalışmalar geliştirilmiştir. İlk olarak sonlu cisimler üzerinde eliptik bölünebilir dizi kavramı tanımlandıktan sonra, belli ranklara sahip olan eliptik bölünebilir dizilerin genel terimleri ve periyotları belirlenmiştir. Daha sonra bu dizilerle eşleşen eliptik eğriler ve singüler eğriler belirlenmiştir, singüler eğrilerin ne zaman ortaya çıktığı ile ilgili sonuçlar verilmiştir.

The aim of this work is to combine two topics of mathematics, “singular curves” and “elliptic divisibility sequences”. In the first part, the elliptic curve theory is discussed and some important properties of this theory are given. An elliptic curve is a curve E defined over F is given by an equation E : y 2 = x 3 + Ax + B where F is a field of characteristic not equal to 2 or 3. If the cubic x 3 + Ax + B = 0 has multiple roots, then the set of solution points form a singular curve. In the third chapter, the rational points on singular curves over finite fields Fp (where p > 3 is a prime) are considered. Some results concerning the number of the points on the singular curves are given by means of quadratic residue character, and the cubic residue character. Also some results are given on the sum of x and y coordinates of the points (x, y) on these curves. Then the structure of the group of the rational points and torsion points on these curves are determined and finally the results concerning the number of points in Fp is generalize to Fp n . In the second part, the theory of elliptic divisibility sequences which arise from elliptic curves and which contain a zero term is discussed. Elliptic divisibility sequences are described in detail in Morgan Ward’s paper “Memoir on elliptic divisibility sequences” published in 1948. In the fifth chapter, the techniques studied by Morgan Ward to characterize to sequences in certain ranks are developed. First of all, elliptic divisibility sequences over finite fields are defined. After that, general terms of these sequences over finite fields are given. Then elliptic curves and singular curves associated to this sequences are given and some results concerning of singular curves and singular elliptic divisibility sequences are given.